Moin Andreas!
Ok, die 2. Pumpe kannte ich nicht (was ein Aufwand, nur um ein bisschen Wasser zu pumpen...).
Bevor Du anfängst, solltest Du die Elektrik an der alten Pumpe messen. Die Pumpe könnte ja auch ok sein und der Kupferwurm sein Unwesen treiben (zB. Sicherung durch). In dem Fall vllt. 'mal externe 12V kurz auf die Pumpe geben. Die neue Pumpe würd' ich auch vorher kurz auf Funktion testen. Wenn Du das nicht kannst, würd' ich das beides vorab in der Werkstatt erledigen lassen, nicht das Aktion für die Katz ist.
Je nach Höhenlage der Pumpe und Schnelligkeit beim Schläucheumstecken wird Dir mehr oder weniger Kühlwasser entgegenkommen. Schraub' die alte Pumpe ab und versuch' die so weit es geht oben zu halten (wenn denn dafür Schlauchlänge vorh. ist). Zwei zusätzl. Hände können die entpr. Stellen dichthalten... dann geht's viel einfacher.
Bei kaltem Motor zunächst den Verschluß vom Ausgleichbehälter öffnen, um evtl. Druck auszugleichen - anschl. wieder verschliessen. Wenn die kleinen Schläuche noch richtig elastisch sind kannst Du versuchen diese mit Klemmen abzudrücken, wenn 2 helfende Hände fehlen daß Dir nicht viel ausläuft, wenn Du die Schläuche schnell umsteckst. Je nach Verlustmenge kannst Du dann anschl. entweder die berühmte Tasse Wasser nachfüllen oder aber eine entspr. Frostschutz+Wassermenge.
Alternativ kannst Du versuchen, die Flüssigkeit aufzufangen, wenn da Platz genug ist für ein entspr. Gefäß. Was 'rauskommt, füllst Du halt wieder ein.
Anschl. muß der Motor richtig warm werden, während Du die Schläuche+Pumpe auf Dichtigkeit kontrollierst und die Wärmeentwicklung im Inneren + Kühlertemperaturanzeige. Wenn der Wasserkühler richtig warm ist (also alle Kreisläufe offen), kannst eine evtl. Restluftmenge durch starkes Kneten (ja, daß geht schwer, aber immerhin ist's schön warm) vom dicken Schlauch oben am Kühler quasi 'rausmassieren. Dabei bitte einen Blick Richtung Ausgleichsgefäß werfen, das sollte bei der Aktion nicht überlaufen. Wenn's im Gefäß nicht mehr gluckert und nur noch ein Schwall kommt, bist Du fertig.
Anschl. wieder abkühlen lassen und nochmal Kühlwasserstand kontrollieren und ggf. 'was nachfüllen, falls nötig. Je nach Nachfüllmenge (ab ~1/2 Liter) die "Massagenaktion" sicherheitshalber wiederholen.
So würde es bei einem normalen Auto funktionieren

Ciao Uwe